Экспериментальные методы определения фрактальной размерности. Фрактальный анализ совместного движения валют Фрактальная размерность вычисление

Рассмотрим пример определения фрактальной размерности и плоской кривой, которая может быть, например, участком береговой линии на карте, контуром чернильной кляксы или фрактального кластера. Для этого изображение кривой покрывается сеткой, состоящей из квадратов со стороной l . Затем подсчитывается число квадратов, через которые проходит кривая. Путем изменения масштаба сетки и, следовательно, сторон квадрата каждый раз вновь подсчитывается число квадратов, пересекающих кривую. Затем в двойных логарифмических координатах строится зависимость МО, по углу наклона которой определяется фрактальная размерность.

Такой метод определения фрактальной размерности называется геометрическим. Его недостатком является необходимость эмпирического подбора величины l . С одной стороны, она не должна быть настолько мала, чтобы стал невозможным подсчет числа элементов в предлагаемом масштабе, а с другой стороны не настолько велика, чтобы выйти за область применимости.

Другой разновидностью геометрического метода является определение D из соотношения между характеристиками множеств с разной размерностью. Для фигуры, ограниченной фрактальной границей, необходимо измерить площадь S = R 2 и длину периметра L = R D . Здесь R - характерный раз мер фигуры. Фрактальную размерность D границы фигур можно определить как тангенс угла наклона зависимости квадрата периметра L от площади S , построенной в двойных логарифмических координатах.

В зависимости от размера объекта (фрактального агрегата) его изображение можно получить фотографированием в обычном оптическом либо электрон ном микроскопе, дальнейший анализ изображения: для получения фрактальных характеристик сводится к тому, что поле изображения фотографии разбивается на конечное число элементов, в простейшем случае квадратиков. Яркость изображения в пределах каждого элемента считается одинаковой. Минимальный размер изображения l о определяется разрешающей способностью аппаратуры, что, в свою очередь, определяет качество фрактального анализа

Оптимальным является случай, когда размер элемента изображения l о соответствует размеру частицы r , из которых затем образуется фрактальный агрегат. Размер кадра должен приблизительно соответствовать размеру фрактального агрегата. Число дискретных элементов изображения не должно быть малым (не менее 104), чтобы масштабную инвариантность можно было проверить в достаточно широком диапазоне размеров.

В тех случаях, когда фрактальные свойства проявляются на масштабах, не превышающих 1 мкм для измерений следует использовать излучение с короткими длинами волн - рентге новское или нейтронное.

Изучить теорию;

Определить фрактальную размерность для двух разбиений, трёх окружений.

ХОД РАБОТЫ

Выделите исходную фигурку, ограниченную фрактальной границей. Принимаем площадь этой фигуры So = l ; измеряем периметр исходной фигуры Lo .

Окружаем исходную фигурку аналогичными так, чтобы стороны исходной были сторонами окантовывающей фигуры.

Подсчитываем число исходных фигурок, входящих в ограничивающую область. Это число обозначим р i . S i = р i .

Находим площадь получившейся фигуры, ограниченной ло­маной линией S 1 = p 1 + S 0 ; S 2 = S 1 + p 2 .

Находим периметр ограничивающей фигуры, т.е. длину ломаной, ограничивающей получившуюся фигуру. L n = L 1 .

Полученные данные подставляем в формулу (2), рассчи­тываем фрактальную размерность первого фрактального мно­жества.

Повторяем все действия, начиная с шага 2. Проводим вычисление фрактальных размерностей.

По программе (Pentagon) построить предфрактальную структуру и по программе (Difraction Pentagon.) получить картину дифракции.

Контрольные вопросы

Что такое фрактал?

Свойство самоподобия, в чем оно состоит?

Понятие о размерности.

Снежинка Коха как пример фрактала.

Понятие о фрактальной размерности, общая формула.

Фрактальная размерность по Хауссдорфу.

Экспериментальный метод определения фрактальной раз­мерности.

Вывод формулы расчета фрактальной размерности исходя из соотношения между характеристиками множеств и раз­мерностью 2.

Кристаллы, квазикристаллы: в чем отличие?

Использование фрактальной размерности для изучения физических процессов.

Литература

Рау В.Г. Общее естествознание и его концепции. – М.: Выс.шк. 2003, 192с

Жиков В.В. в СОЖ

Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. – М.: Логос, 2002. – 664 с.

Лабораторная работа № 4

МОДЕЛЬ БЕСПОРЯДКА. ПОНЯТИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Цель работы:

При помощи моделирования распределения количества частиц газа по высоте в поле силы тяжести экспериментально проверить справедливость формулы зависимости давления газа от высоты (распределения Болыдмана).

Краткая теория

1. Барометрическая формула

Атмосферное давление накакой-либо высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа.Обозначим: р -давление на высоте h ,p + dp - давление на высотеh + dh . Еслиdh >0 , тоdp <0 , т.к. вес вышележащих слоев атмосферы идавление с высотой убывают. Справедлива формула: p -(p + dp )= ρgdh , где ρ плотность газа на высотеh . Разность давленийр иp + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотойdh . Тогда

где R -газовая постоянная,М -молярная масса,Т -температура.

Формула (2) может быть использована для вычисления плотности воздуха при нормальных условиях (если воздух мало отличается по своему поведению от идеального газа).

Подставим (2) в (1). Получим

где М - средняя молекулярная масса воздуха. Проинтегрируем (4) и найдем зависимость р от h для случая T = const (т.е. для изотермической атмосферы)

, где С= const

Проинтегрировав, получим:
. Приh =0 C = p o , где р 0 - давление на высоте h =0 . Таким образом, при T=const зависимость давления от высоты выражается формулой
(5)

называемой барометрической.

Из нее следует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше М), и чем ниже температура (рис.1). Две кривые на этом рисунке можно рассматривать либо как графики, соответствующие разным М (при одинаковой Т) , или как графики, соответствующие разным Т (при одинаковой М).

2. Распределение Больцмана

Заменим в показателе экспоненты в (5) отношение M / R равным ему отношением m/k, где m-масса молекулы, k - постоянная Больцмана, р= n кТ , р 0 = n 0 кТ:

(6)

где n , n 0 - концентрация молекул на высоте h и h o =0 соответственно.

Из формулы (6) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах отличных от нуля убывает, обращаясь в нуль при Т=0 (рис.2)

На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии

E p = mgh (7)

С
ледовательно, распределение молекул по высотам является и распределение молекул по значениям потенциальной энергии.

(8)

Больцман доказал, что распределение (8) справедливо не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Распределение (6) называют распределением Больцмана.

Пусть kT =θ . Найдем соотношения

Прологарифмируем эти отношения:

, где
.

ХОД РАБОТЫ

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

Трансформатор, машина Беспалова, шкала высот.

1. Подключить машину Беспалова к трансформатору. Установить "температуру" 80В. Через несколько секунд резко отключить трансформатор от сети. Подсчитать количество частиц, находящихся на высотах h 0 , h 1 , h 2 ,...,h 7 .

Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1

	h o	h 1	h 2	h 3	h 4	h 5	h 6	h 7
N 1
N 2
N 3
N ср

2.Проделать те же измерения при “Т” =80В. Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

	h o	h 1	h 2	h 3	h 4	h 5	h 6	h 7
N 1
N 2
N 3
N ср

3.По результатам задания 1 и 2 построить графики зависимости
отh n в одной координатной плоскости (hOn).

КОНРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Барометрическая формула. Ее вид и график.

Следствия барометрической формулы.

Что такое температура?

Распределение Больцмана (вид, формула, график).

Использование распределения Больцмана.

Почему существует атмосфера у Земли.

Статистическая система. Статистическое распределение.

ЛИТЕРАТУРА

1.Рау В.Г. Общее естествознание и его концепции. – М.: Выс.шк. 2003, 192с.

2..Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. Молекулярная физика. М: Просвещение, 1982, с.14-17.

3. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1. М: Наука, 1982, с.289-290, 321-324.

Лабораторная работа № 5

ПОРЯДОК И ХАОС. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА. МОДЕЛЬ РОСТА ПОПУЛЯЦИИ.

Цель работы: познакомиться с примерами образования порядка из хаоса и возникновения хаоса в детерминированной системе.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Пусть x о - начальная численность популяции, ах n - ее численность черезn лет. Коэффициентом приростаR называют относительное изменение численности за год:

Если эта величина - константаr , то закон, управляющий динамикой имеет вид:

Через n лет численность популяции будет равна

Для того, чтобы ограничить этот экспоненциальный рост, Ферхюльст заставил коэффициент прироста R меняться вместе с изменением численности популяции. Считая, что численность популяции, заполняющую данную экологическую нишу, не может быть больше некоторого максимального значенияX(которое можно положить равным 1), он предположил, что зависящий от размеров популяции коэффициент приростаR пропорционален величине1- х n , т.е. положилR = r (1- х п ); константуr мы будем называть параметром роста. Таким образом, когдах п < 1, численность популяции по-прежнему растет, но лишь до тех пор, пока не будет достигнуто значениех n = 1 , при котором рост прекращается.

Закон, управляющий динамикой, теперь будет выглядеть так:

Для х о имеются два значения, при которых численность популяции не изменяется:х 0 = 0 их 0 = 1. Когдах 0 = 0, популяция попросту отсутствует с самого начала, а в этом случае вообще никакой рост невозможен.

Однако, если начальная численность хоть немного отлична от нуля, 0 < x 0 << 1, то приr > 0 на следующий год она возрастает

.

Следовательно, состояние равновесия x о = 0 является неустойчивым.

Простейшее дифференциальное уравнение роста популяции записывается следующим образом:
.

РОЖДЕНИЕ СТРУКТУР

В ОТКРЫТЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

ЯЧЕЙКИ БЕНАРА.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение открытых термодинамических систем с эле­ментами самоорганизации. Получение ячеек Бенара.

ОБОРУДОВАНИЕ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Электроплитка, минеральное масло, алюминиевый по­рошок, датчик температуры, сосуды.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Явления теплопроводности в веществе описывается экспериментальным законом Фурье

(1)

и уравнение теплопроводности через условно выде­ленные границы вещества.

В
еличина
- плот­ность потока излучения количества теплоты в еди­ницу времени может быть записана следующим образом:
,

где S -сечение границы (рис.1).

Разность потоков через левую и правую границы выделенного объема V однородного вещества опреде­ляет изменение внутренней энергии в объемеV за времяdt .

Тогда , откуда имеем:

В то же время dQ (x 2 )- dQ (x 1 ) = dU , или если ввести теплоемкость единицы длины
, то получим уравнение
или
, которое при приближенииx 1 -> x 2 определяет процесс теплопроводности в дифференциальной фор­ме:

- уравнение теплопроводности или краткоT t = aT xx .

Аналогично ведет себя процесс диффузии, при котором меняется концентрация вещества с течением времени за счет градиента плотности:

, гдеD - коэффициент диффузии.

Влияние одного процесса на другой усложняет вид уравнений обеих процессов. Симметричное влия­ние приводит к системе уравнений для двух пере­менных XиY, под которыми в нашем конкретном примере подразумеваются температура и концентра­ция (или плотность) вещества.

В системе, где создаются градиенты температу­ры и плотности вещества возникают процессы, при­водящие к образованию устойчивой структуры движе­ния в форме конвекционных потоков. Так из беспо­рядка (теплового движения) рождаются структуры, подтверждая существование синергетического эффек­та (совместное действие двух причин порождает но­вое свойство).

Способность к самоорганизации является общим свойством открытых систем. При этом именно нерав­новесность служит источником неупорядоченностью. Этот вывод послужил отправной точкой для круга идей, выдвинутых брюссельской школой во главе с И.Пригожиным.

Основная трудность, которая возникает при анализе процессов самоорганизации состоит в том, что нельзя пользоваться представлениями линейной термодинамики необратимых процессов. Предположе­ние о существовании линейных соотношений между токами и термодинамическими силами здесь оказы­вается неправильным, поскольку формирование структуры происходит вдали от равновесия.

По внешним проявлениям, по характеру упорядо­ченности, эти структуры можно разделить на вре­менные, пространственные и пространственно-временные. Типичными примерами переходов, приво­дящих к образованию пространственных структур яв­ляются: переход ламинарного течения в турбулент­ное, переход диффузионного механизма передачи те­пла в конвективный; временных структур - переходы в режим колебательных и волновых процессов; про­странственно-временных - переход лазера в режим регенерации.

Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической фазы являются конвектив­ные ячейки Бенара. В 1990г. была опубликована статья X.Бенара с фотографией структуры, по виду напоминавшей пчелиные соты. Для того, чтобы экс­периментально изучать структуры, достаточно иметь сковороду, немного масла и какой-нибудь мелкий порошок, чтобы было заметно движение жидкости. При достижении критического значения температур­ного градиента возникает конвекционный поток, об­ладающий характерной структурой в виде шести­угольных ячеек. Почему ячейки шестигранны? Будем считать, что все ячейки одинаковы и имеют форму многоугольника в плоскостиXY. Из соображений симметрии (отсутствия выделенного направления в этой плоскости) следует, что это будет правильный прямоугольник. Из того, что ячейки одинаковы вы­текает, что ими можно заполнить всю плоскость (иначе было бы несколько типов ячеек). Но почему же природа выбрала для ячеек форму шестиугольни­ка, а не треугольника или квадрата? Для нелиней­ных систем, изучаемых синергетикой, можно сформу­лировать принцип минимальной диссипации энергии: "Когда природа допускает существование нескольких процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует минимальных энергетических затрат". Диссипация энергии в мас­ле зависит от отношения площади ячейки к ее объе­му. Чем меньше это отношение, тем меньше диссипа­ция энергии. Нетрудно убедиться, что это отноше­ние минимально именно для шестигранных ячеек. Таким образом, шестиугольные ячейки не случайность, а оптимальное решение, найденное природой.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Эффект Бенара можно наблюдать с помощью сле­дующего опыта: на сковороду диаметром 13-15 см. налить слой машинного масла (марка М-8, МС-20) толщиной около 1см. Заранее подготовить дюралюми­ниевый порошок, который легко получить из бруска дюралюминия с помощью наждачной бумаги. Сковороду с маслом подогреть снизу водой (температура воды около 80°С). Далее в масло постепенно и равномер­но подсыпать дюралюминиевый порошок. При нагрева­нии, в такой системе возникает разность (градиент) температур ΔT между нижней и верхней поверхностью слоя масла. Температуру нижнего слоя масла можно брать равной температуре воды. Вследствие вязко­сти масла при небольших градиентах температуры движения не возникнет и тепло будет передаваться только путем теплопроводности. Лишь при достиже­нии критического значения температурного градиен­та появляется конвекционный поток, обладающий ха­рактерной структурой в виде шестиугольных ячеек.

При дальнейшем увеличении разности температуры ΔT ячейки исчезают. Масло начинает неупорядоченно двигаться.

Контрольные вопросы:

Какова идеальная форма ячеек Бенара и в чем причина предпочтения именно именно такой формы?

Почему не удается получить в опыте идеальную форму ячеек?

Какие факторы влияют на возникновение ячеек Бенара?

За счет каких ресурсов происходит самоорганизация в слое масла?

Изменится ли картина в процессе Ферхюльста, если в качестве начальной численности популяции взять другое число? Почему?

Во сколько раз длиннее интервал r , соответствующий 2-м устойчивым численностям популяции, чем 4-м?

За счет чего возникает хаос в модели роста популяции?

Какой вид имеет функция роста популяции во времени, если рост популяции описывается простейшим дифференциальным уравнением роста.

Литература

Рау В.Г. Общее естествознание и его концепции. – М.: Выс.шк. 2003, 192с

-//- Эл.учебник.

Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985.

Лабораторная работа № 6

СИММЕТРИЯ –

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ПОНЯТИЕ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: познакомиться с различными аспектами понятия «симметрия», изучить способы описания геометрической симметрии форм кристаллов ипериодических молекулярных структур (на моделях с использованием компьютерных программ исследования симметрии плоских моделей молекулярных упаковок), научиться определять симметрию различных объектов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Симметрия конечных фигур

В общем смысле понятие симметрии определяют следующим образом:

Симметрия - это неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных.

Другими словами: говорят, что система обладает симметрией относительно данного преобразования, которому она может быть подвергнута. В математике преобразования симметрии составляютгруппу. Фундаментальное значение симметрии в физикеопределяется прежде всего тем, что каждому непрерывному преобразованию симметрии отвечаетзакон сохранения некоторой физической величины, связанной с указанной симметрией.

Во всякой симметричной фигуре (симметричной называется фигура, которая состоит из геометрически равных частей, закономерно расположенных относительно друг друга) является обязательным:

наличие равных частей;

их определённая закономерная повторяемость.

Закономерность в повторении равных частей симметричной фигуры может быть обнаружена с помощью некоторых вспомогательных геометрических образов, которыми являются плоскости, прямые, точки. Эти геометрические образы (точка, прямая, плоскость) называютсяэлементами симметрии фигуры. В симметричных фигурах возможны следующие элементы симметрии: центр симметрии, плоскость симметрии, простые и сложные (зеркальные и инверсионные) оси симметрии.

Простейшим симметрическим преобразованием является отражение в плоскости симметрии.

Плоскостью симметрии называется такая плоскость в симметричной фигуре, при отражении в которой, как в двухстороннем зеркале, фигура совмещается сама с собой, Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально-равные части.

Представим себе равнобедренный треугольник. Эта фигура обладает одной плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости фигуры и проходящей через перпендикулярАО. Для отражения необходимо изкаждой точки фигуры (например, из точки В) опустить на плоскость симметрии перпендикулярОВ и продолжить, этот перпендикуляр на расстояние, равноеВО = B 1 O , и если треугольник равнобедренный, то отражение точкиВ совместится с точкойВ 1 , аотражение прямой ВА - с прямой В 1 А. Отражение левой половины совместится с правой половиной. Проделав то же самое с правой половиной фигуры, мы совместим еёотражение с левой половиной, и в результате вся фигура совместится сама с собой. Итак, фигура придёт в новое состояние, ничем не отличающееся от исходного.

В кубе, форму которого имеют кристаллы большинства металлов, можно обнаружить прежде всего три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, которые, подобно координатным плоскостям ортогональной системы, делят пополам противоположные параллельные рёбра. Далее можно найти плоскости симметрии,проходящие по диагоналям граней куба. В итоге в кубе имеется 9 плоскостей симметрии, и все они пересекаются в одной точке - центре куба.

П
ростейший элемент симметрии представляет собой особая точка внутри фигуры -центр инверсии (центр симметрии). Например, точка, лежащая на пересечении диагоналей параллелограмма, характе­ризуется тем, что любая проведённая через неё прямая, встречает на равных расстояниях от неё соответственные (одинаковые) точки контура параллелограмма (например,М иM 1 ). Эта особая точка и будет центром симметрии. Примером пространственной фигуры, симметрия которой исчерпывается наличием одного центра симметрии, служит косоугольный параллелепипед.

Итак, центром симметрии называетсяособаяточкавнутрифигуры, характеризующаяся тем, что по обе стороны от любой проведённой через неё прямой и на равных расстояниях от этой прямой находятся одинаковые (соответственные) точки фигуры. Рассматриваемое симметрическое преобразование в центре симметрии есть зеркальное отражение в точке.

Осью симметрии называется прямая, принадлежащая данной фигуре, при повороте вокруг которой на некоторый определённый yгол фигура совмещается сама с собой. Это возможно, если, во-первых, фигура состоит из нескольких повторяющихся равных частей и, во-вторых, эти повторяющиеся равные части расположены так, что при поворотфигуры на некоторый вполне определённый угол она займёт в пространстве то же самое положение, которое она занимала до этого поворота. Только при этом на место одних её частей становятся другие равные им части. В этом случае принято говорить, что фигура совмещается сама с собой илисамосовмещается.

Возьмём какую-либо фигуру, обладающую осью симметрии, например, состоящую из шести равных треугольников. По условию фигура должна совместиться сама с собой

при повороте на некоторый угол вокруг осисимметрии. Очевидно, что ось симметрии проходит перпендикулярно к плоскости чертежа через центр фигуры. Наименьший угол поворота, при котором произойдет самосовмещение фигуры, равен 60градусам, т.е. шестой части полного оборота вокруг оси симметрии. В данном случае рассматриваемая фигурабудет иметь только один элемент симметрии - ось.

Наименьший угол, на который нужно повернуть фигуру вокруг оси симметрии, чтобы фигурасамосовместилась, называется элементарным углом поворота данной оси симметрии. Для фигуры, изображённой на данном рис., он составляет 60 градусов.

Элементарный угол поворота данной оси симметрии определяет число самосовмещений фигуры при повороте её вокруг этой оси на 360 градусов, или порядок оси симметрии. Если элементарный угол поворота обозначить череза , а порядок оси симметрии - черезп , топ=360/а. Доказано, что порядки осей симметрии могут быть лишь целыми числами. Рассмотренная выше фигура, состоящая из шести равных треугольников, имеет ось симметрии шестого порядка.

Оси симметрии могут иметь любой порядок. Через центр правильного треугольника перпендикулярно к плоскости чертежа проходит ось симметрии третьего порядка, через центр квадрата - четвёртого, через центр правильного пятиугольника - пятого, через центр правильного шестиугольника - шестого, и так вплоть до круга, через центркоторого проходит ось симметрии бесконечного порядка. Оси конуса или цилиндра также являются осями симметрии бесконечного, так же как любой диаметр шара. Следовательно, шар обладает бесконечным числом осей симметрии бесконечного порядка.

Среди геометрических фигур, форму которых могут принимать кристаллы, нет фигур с осями пятого порядка, а также с осями симметрии, порядок которых выше шестого. Итак, кристаллические многогранники имеют лишь оси симметрии 2-, 3-, 4- и 6-порядков. Ось 2-го порядка есть в фигуре в том случае, если первое самосовмещение происходит при повороте вокруг неё 180 градусов. Осям 3-, 4-, 6-го порядковсоответствуют элементарные углы поворота на 120, 90, 60 градусов. В отличие от двойной оси их называют осями высшего порядка. В фигуре могут быть одна или несколько осей симметрии одного и того же или различных порядков.

Рассмотренные оси симметрии называются простыми. Они обозначаются цифрами, указывающими порядок оси.

При записи формулы симметрии, представляющей собой полный перечень элементов симметрии используют букву L . Порядок оси симметрии указывается в виде нижнего индекса буквы L . (Например, обозначения L з и L 4 соответствуют осям симметрии 3-го и 4-го порядков.) Число осей симметрии данной фигуры (кристалла, текстуры и т.д.)указывается перед L . (Скажем, 4 L 3 следует расшифровать как четыре оси симметрии 3-го порядка.)

Кроме рассмотренных простых операций, выявляющих симметрию в геометрических фигурах, возможны и другие комбинированные геометрические преобразования, которые состоят из одновременного поворота и отражения либо в точке, либо в плоскости. Эти сложные геометрические преобразования описываются с помощью дополнительныхэлементов симметрии: инверсионных и зеркальных осей симметрии.

Зеркальной называется ось симметрии, относительно которой фигура поворачивается на элементарный угол, отражаясь одновременно в перпендикулярной к ней плоскости (это необязательно плоскость симметрии фигуры).

Инверсионной является ось симметрии, которая, обладая свойствами простой оси симметрии того же порядка, предполагает в то же время и отражение в точке как в центре симметрии. Присутствие центра симметрии в фигуре, обладающей инверсионной осью симметрии, также не обязательно.

Инверсионные оси симметрии обозначают цифрой с прямой чёрточкой, зеркальные с волнистой (тильдой). Например, обозначения 3 и 4 соответствуют инверсионной и зеркальной осям симметрии 3-го и 4-го порядков.

Группы симметрии

Кроме простых и сложных элементов симметрии, присутствующих в геометрических фигурах в единичном числе, существуют вполне определённые совокупности этих элементов симметрии, которые также наблюдаются в реальных фигурах. Полная совокупность элементов симметрии геометрической фигуры называетсягруппой (классом, видом) симметрии.

В результате вывода получено 32 группы симметрии кристаллических многогранников и дополнительно к ним 5 групп симметрии текcтурироваиныхматериалов и 7 групп симметрии фигур вращения (см. таблицу ниже).

Для описания точечных групп симметрии фигур существует несколько способов. Рассмотрим 2 из них:

1.В международной практике приняты следующие обозначения: n -ось симметрииn -го порядка(п = 2, 3, 4, ...);

- инверсионная ось n -го порядка (п = 1, 2, 3...);

т - плоскость симметрии;

пт - ось симметрииn -го порядка и плоскость симметрии, проходящая вдоль неё( 2 т, Зт, 4т,.. .);

п/т - ось симметрии «-го порядка и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная, а также центр симметрии для чётных осей(2/т, 3/т, 4/т,.)

п2 - ось симметрииn -го порядка ип осей 2-го порядка, перпендикулярных к ней(222, 322, 422, 522 , 622);

п/ттт - ось симметрииn -го порядка и плоскостит. параллельные и перпендикулярные к ней.

В международной символике в классе симметрии указывают только порождающие элементы симметрии. Зная теоремы о сочетании элементов симметрии, по порождающим элементам можно найти всю совокупность элементов симметрии данного класса.

2.В таблице приведены формулы симметрии - набор элементов для всех видов симметрии. В этих формулах использована символика Бравэ:

Р - плоскость симметрии:

С - центр симметрии;

L i 1 , L i 2 , L i 3 ,... - инверсионные.

Каждая выделенная совокупность групп симметрии характеризуется обязательным наличием определённых элементов.

Совокупность групп симметрии, имеющих один или несколько сходных элементов называютсингонией.

В кристаллографии различают всего семь сингоний: триклинную. моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. К рассмотренным системам необходимо добавить пентагональную.

СИНГОНИЯ	МЕЖДУНАРОДНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ	ФОРМУЛА СИММЕТРИИ (символика Браве)
ТРИКЛИННАЯ
МОНОКЛИННАЯ		L 2 L 2 PC
РОМБИЧЕСКАЯ		3L 2 L 2 2P 3L 2 3PC
ТРИГОНАЛЬНАЯ		L 3 L 3 C или L i 3 L 3 3 L 2 L 3 3 P L 3 3L 2 3PC
ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ	4/ m	L i4 или L 4 PC L 4 4L 2 L 4 4P L 4 4L 2 5PC L i4 2L 2 2P
ПЕНТАГОНАЛЬНАЯ	5/ m	L 5 L 5 P L 5 5L 2 L 5 5P L 5 5L 2 5P
ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ	6/ m m2	L 6 L 3 P L 6 PC L 6 6L 2 L 6 6P L 3 3L 2 4P L 6 6L 2 7PC
КУБИЧЕСКАЯ	3m	3L 2 4L 3 3L 2 4L 3 3PC 3L 4 4L 3 6L 2 3L 4 4L 3 6P 3L 4 4L 3 6L 2 9PC

Сингония	Решётки Бравэ
Триклинная (параллелепипед)
Моноклинная (правильная призма с параллелограммом в основании (изображен сверху);		базоцентрированная
Ромбическая (ромбоэдр)		Базоцентри рованная	Объёмноцентри рованная	гранецентри рованная
Тетрагональная (прямой параллелепипед)		Объёмноцентри рованная
Тригональная (ромбоэдрическая) (равносторонний ромбоэдр)
Гексагональная (призма с основанием правильного центрированного шестиугольника)
Кубическая (правильный куб)		Объёмноцентри рованная	Гранецентрир

Симметрия бесконечных фигур

Рассмотрим идеальный кристалл. В структуре этого кристалла, которую можно представить себе как бесконечные симметричные ряды, сетки и решётки из периодически чередующихся частиц, нет нарушений: все одинаковые частицы расположены одинаковыми параллельными рядами. Расстояния между частицами в большинствекристаллических веществ составляют несколько ангстрем, поэтому даже на длине в 1 мм в кристалле располагается примерно 10 в седьмой степени частиц, что практически можно считать бесконечным числом.

Кратчайшее из возможных расстояний между одинаковыми точками в ряду называется кратчайшей, или элементарной, трансляцией, илипериодом идентичности (рис. ...); иногда употребляют названияпериод трансляции, илипараметр ряда.

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то все одинаковые точки передвинутся на одинаковые расстояния, ряд совместится сам с собой, так что вид его не нарушится. Так производится симметричное преобразование - ряд симметрично сдвигается на один период трансляцииа.

Трансляцией, или преобразованием с помощью трансляции, называется симметричное преобразование, с помощью которого точка повторяется в пространстве.

Повторяя какую-либо точку с помощью трансляции,получим бесконечный периодический ряд идентичных точек на расстоянияха, 2а, За, ..., па. Характеристикой этого ряда является кратчайшая трансляцияа. Одинаковые точки,связанные между собой трансляциями а в бесконечном ряду, называютсяузлами ряда. Узлы не обязательно должны совпадать с материальными частицами вещества, это могутбыть и одинаковые точки между частицами вещества.

Повторяя одинаковые точки с помощью другой трансляции, не параллельной первой, получим двумерную плоскую сетку, которая полностью определена двумяэлементарными трансляциями а и b или тремя произвольными узлами, не лежащими на одной прямой. Параллелограммы, вершины которых являются узлами, называютсяячейками сетки. Плоскую сетку можно определить любой парой трансляций, не лежащих на однойпрямой (рис. а). Выбор такой пары основных параметров плоской сетки не однозначен, но принято выбирать кратчайшие трансляции и именно те, которые лучше всего отражают симметрию сетки.

Выберем в плоской сетке элементарную ячейку; повторяя её с помощью одинаковых трансляций, получим плоскую сетку, заполняющую всю плоскость без промежутков. Элементарную ячейку можно выбирать по-разному (рис. б), но принято выбирать её так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:

наилучшим образом отражала симметрию сетки;

если можно, то имела бы прямые углы;

обладала бы наименьшей площадью.

Примитивной элементарной ячейкой называется ячейка, внутри которой нет узлов(рис. в). Каждый узел, находящийся в вершине такой ячейки, принадлежат одновременно четырём ячейкам, значит, на данную ячейку приходится лишь 1/4 от этого узла, а всего на одну ячейку приходится
узел. Ячейку, на которую приходится один узел,можно выбрать по-разному, но все площади таких ячеек одинаковы независимо от формы ячейки, потому что площадь, есть величина постоянная для данной сетки. Число узлов на единицу площади называетсяретикулярной плотностью сетки.

Таким образом, плоскую сетку можно определить тремя способами:

как пару элементарных неколлинеарных трансляций, или

как систему элементарных узлов, которые могут быть получены один из другого с помощью параллельных переносов, или

как систему одинаковых элементарных ячеек, прилегающих друг к другу, заполняющих плоскость без промежутков и совмещающихся друг с другом с помощью параллельных переносов.

Двумерные группы симметрии можно, как и одномерные, получить, перебрав все сочетания допустимых открытых и закрытых элементов симметрии, добавив затем к каждому такому сочетанию трансляционные компоненты соответствующих плоских сеток. 17 двумерных групп симметрии изображены на рисунке.

П
риложим теперь к произвольной точке три не лежащие в одной плоскости (некомпланарные) элементарные трансляции и повторим её бесконечно в пространстве. Получаемпространственную решётку, т.е. трёхмерную систему эквивалентных узлов.

Основнуютройку трансляций такназываемую трансляционную группу, или группу переносовдля пространственнойрешётки, можно выбрать по -разному, но принято выбирать трансляции кратчайшие и соответствующие симметрии решетки.

Параллелепипед, построенный на трёх элементарных трансляциях а, b ,с, называется элементарным параллелепипедом. илиэлементарной ячейкой. Как и в плоской сетке, объём примитивной элементарной ячейки не зависит от её формы и является величиной постоянной для данной решётки; он равенобъёму, приходящемуся на один узел.

К
ак и плоскую сетку, пространственнуюрешётку можно определить тремя способами:

кактройкуэлементарных некомпланарных трансляций, или

как систему эквивалентных точек, преобразующихся друг в друга с помощью трёх основных трансляций, или

как систему трёх одинаковых параллелепипедов, которые плотно заполняют пространство и могут совмещаться друг с другом с помощью трёх основных трансляций.

Любое из этих определений даёт одну и ту же схему трёхмерной периодичности распределения частиц вещества в кристалле.

За рёбра элементарной ячейки, т.е. за элементарные трансляции, принимают те направления в пространственной решётке, в которых величина трансляции наименьшая и которые наилучшим образом отражают симметрию решётки.

Исходя из идеи о периодическом расположении центров тяжести сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О.Бравэ в 1848 году показал, что всё многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решёток, отличающихся по формам элементарных ячеек и по симметрии и подразделяющихся на 7кристал-

лографических сингоний. Эти решётки были названырешётками Бравэ.

Каждая решётка Бравэ - это группа трансляций , характеризующих располо- жение материальных частиц в пространстве.

Любую кристаллическую

структуру можно предста вить с помощью одной из 14 решёток Бравэ.

Для выбора ячейки Бравэ используют 3 условия:

1) симметрия элементар ной ячейки должна соответствоватьсимметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии той сингоний, к которой относитсякристалл. Рёбра элементарной ячейки должны быть трансляциями;

элементарная ячейка должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных рёбер;

элементарная ячейка должна иметь минимальный объём.

Эти условия должны выполняться последовательно, т.е. при выбореячейки первое условие важнее второго,а второе важнее третьего.

По характеру взаимного расположения основных трансляций или по расположению узлов все кристаллические решётки разбиваются, по Бравэ, на 4 типа:

примитивные (Р ),

базоцентрированные (С,В или А ),

объёмно-центрированные (I ),

гранецентрированные (F ).

В примитивной Р ячейке узлы решётки располагаются только по вершинам ячейки, ав сложных ячейках имеются ещё узлы. В объёмо-центрированной I - ячейке - один узел в центре ячейки. В гранецентрированнойF -ячейке - по одному узлу в центре каждой грани. В базоцентрированнойС (А, В ) - ячейке - по одному углу в центрах пары параллельных граней.

Чтобы выделить в структуре элементарную ячейку Бравэ, надо найти 3 кратчайшие некомпланарные трансляцииа, b , с, причём каждая трансляция должна начинаться и кончаться на одинаковых узлах. Далее надо проверить основные требования:

1)можно ли на этих трансляциях построить ячейку, отвечающую правилам выбора ячейки Бравэ;

2)все ли частицы в структуре можно получить с помощью такого набора трансляций.

В общем случае каждой сингонии могут отвечать решётки всех четырёх типов (Р, С, I , F ), однако на деле во всех сингониях, кроме ромбической, число возможных решёток Бравэ сокращается за счёт сведения одних типов решёток к другим. Так, например, вкубической решётке: если пара граней кубической элементарной ячейки оказывается центрированной, то в силу кубической симметрии центрируются все остальные грани и вместо базоцентрированной получается гранецентрированная решётка.

Совокупность координат узлов, входящих в элементарную ячейку, называется базисом ячейки. Всю кристаллическую структуру можно получить, повторяя узлы базиса совокупность трансляций ячейки Бравэ. При этом начало координат выбирается в вершине ячейки и координаты узлов выражаются в долях элементарных трансляций а,b, с.

Совокупность всех операций симметрии кристаллической структуры называется пространственной группой симметрии. Вывод 230 пространственных групп симметрии был закончен к 1890 году русским кристаллографом Евграфом Степановичем Фёдоровыми к 1891 году немецким геометром Артуром Шенфлисом. К окончательным результатам первым пришёл Фёдоров, поэтому пространственные группы часто называют фёдоровскими.

Если по своей внешней симметрии (макросимметрии) каждое кристаллическое вещество относится к одному из 32 классов, к одной из 32 точечных групп, то симметрия его кристаллической структуры (микросимметрия) отвечает одной из 230 пространственных групп.

Существование трансляций приводит к возникновению новых элементов симметрии, например, плоскость скользящего отражения (g). Величина скольжения (поступания) плоскости скользящего отражения всегда равна½ трансляционного вектора, совпадающего с направлением скольжения, так как двукратное отражение даёт эквивалентную точку, отстоящую от исходной на величину целого трансляционного вектора.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Размерность фрактальных поверхностей

1. Введение в размерность

3. Природные фракталы

6. Фрактальная размерность

7. Подобие и скейлинг

9. Показатель Хёрста

Список литературы

1. Введение в размерность

Важной характеристикой инженерной поверхности, наряду со стандартными параметрами шероховатости, является фрактальная размерность. Рассмотрим один из способов определения фрактальной размерности поверхности по соотношению "периметр-площадь".

Как известно, эвклидова размерность точки DE=d=0. Найдем размерность геометрических фигур, взяв в качестве примера диаметральное сечение шара радиусом r:

· длина (диаметр) L=2r (L=Vd=1),

· площадь сечения A=r2 (A=Vd=2),

· объем шара V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Эти известные измеряемые величины могут быть определены по общей формуле

где Г(х) ? гамма функция, равная

Если n ? целое число, то

при n=0,1,2,…

2. Размерность геометрических объектов

Размерность фрактального объекта определяется исходя из понятия фрактала. Фрактал - это множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности. Фрактал обладает дробной размерностью.

В двухмерном случае фрактальную кривую получают с помощью некоторой ломаной линии (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную линию, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1) ? это 0-е поколение кривой.

Рис. 1. Процедура построения кривой Коха

Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-м поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/

Для получения 3-го поколения проделываются те же действия: каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом.

Кривая Коха представляет собой структуру, состоящую из частей, которые в некотором смысле подобны целому. Такие геометрические объекты относят к самоподобным объектам. Это означает, что в широком диапазоне масштабов топографические особенности и повторения объекта одни и те же.

Так, для кривой Коха, выбрав фрагмент, равный 1/3 отрезка линии, длиной, равной единице, и увеличив его в три раза, получим исходный отрезок, равный единице. Такие объекты обладают скейлингом, или масштабом измерения.

На рис. 1 представлены три поколения кривой. Если взять за основу не прямую, а треугольник и применить тот же алгоритм для каждой из сторон, то мы получим фрактал, называемый снежинкой (островом) Коха (рис. 2).

Рис. 2. Остров ("снежинка") Коха

При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис. 2 представлены первые поколения кривой, построенной по описанному принципу.

Предельная фрактальная кривая (при n> ?) называется "драконом" Хартера-Хейтуэя (рис. 3). На рис. 4 представлен "ковер" польского математика Серпинского.

Рис. 3. Процедура построения "дракона" " Хартера-Хейтуэя

Рис. 4. Построение "ковра" Серпинского

3. Природные фракталы

Облака, горы, кусты, деревья и другие растения тоже имеют фрактальную структуру. Рассмотрим процесс роста куста (рис. 5). Сначала появилась веточка, потом она выпустила два побега, на следующем этапе каждый побег вновь раздвоился, то же самое происходит на следующем этапе, и в результате из начальной "вилки" двух побегов вырастает причудливое самоподобное растение.

Рис. 5. Модель куста

Оно получено многократным повторением исходного эталона (n=1). На рис. 5 и 6 показаны примеры построения фрактальных объектов, сходных с природными образованиями (рис. 7).

Рис. 6. Построение фрактального объекта

Рис. 7. Природные фрактальные объекты:

а - горец почечуйный; б? дуб; в? сушеница топяная; г - хвощ

4. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Для оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича рассмотрим измерение множества точек? метрического пространства (рис. 8).

Рис. 8. Точки в метрическом Пространстве

Разобьем пространство на квадратные ячейки с размером стороны ячейки д и подсчитаем число ячеек, покрывающих это множество. Уменьшение размера ячейки приводит к росту числа ячеек, покрывающих множество. Каждая ячейка имеет площадь д2, тогда площадь множества

где N(д) - число ячеек, покрывающих множество.

Рассмотрим некоторые величины, характеризующие множество. Так, "длина" поверхности определяется выражением

Так как, то "длина" поверхности, определяемая предельным переходом, равна:

"Объем" поверхности

Таким образом, "длина" множества стремится к бесконечности, а "объем" ? к нулю.

Для характеристик" величины" (длины, объема) множества точек? используется некоторая пробная функция, которая определяет размеры ячейки: длину при d=1, площадь при d=2, объем при d= "Величина", или мера множества? определяется как сумма "величин" всех ячеек, покрывающих метрическое пространство?:

Константа зависит от формы ячеек (для квадратной ячейки).

При некотором показателе степени d мера Md при д>0 равна либо нулю, либо бесконечности, либо некоторому (не обязательно целому) конечному положительному числу. Значение d, при котором мера Md не равна нулю или бесконечности, адекватно отражает топологическую размерность множества?.

Число dcr такое, что

называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Для "простых" (не фрактальных) геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической размерностью. Для фрактальных объектов скачок меры Md от нуля к бесконечности происходит при дробных значениях d.

Пусть функция N(д) зависит от д со степенной особенностью в нуле

где б(д)дd >0 при д>0.

С точностью до бесконечно малых величин запишем

Таким образом, имеем

5. Измерение длины негладкой (изломанной) линии

Как измерить длину береговой линии?

Рассмотрим следующие сравнительно простые приемы измерения.

Пометим точками A и B начало и конец измеряемого участка (рис. 9).

Рис. 9. Измерение длины линии раствором циркуля или с помощью сетки

Одна из процедур измерения длины заключается в следующем.

Будем измерять длину линии от точки А до точки B отрезками длиной д.

Подсчитав число отрезков, найдем длину С уменьшением раствора циркуля д число отрезков N(д) растет. Типичная зависимость L(д) от д в логарифмических координатах представлена на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость измеренной длины изломанной (береговой) линии от масштаба (длины отрезка д )

Не останавливаясь на недостатках этого метода, особенно при определении фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности, рассмотрим другой (альтернативный) метод.

Покроем рассматриваемый участок квадратной сеткой (правая часть рис. 9) и подсчитаем число ячеек, покрывающих рассматриваемую линию.

Уменьшение размера ячеек приводит к увеличению числа ячеек, покрывающих линию AB. Следует ожидать, что число шагов измерительного циркуля или число покрывающих линию ячеек будет обратно пропорционально д или д*х д*, а величина будет стремиться к постоянному для данной линии значению L(д). Однако при уменьшении д или размера ячеек сетки длина линии не стремится к постоянному значению. При д>0 измеряемая длина непрерывно растет, т.е. при д>0 величина L(д) не является пределом.

Измеренная длина линии может быть описана следующей приближенной формулой:

где D - фрактальная размерность линии.

Легко показать, что для прямой линии и, например, для окружности D=1. Длина окружности при уменьшении д стремится к постоянному значению, равному 2рR, где R-радиус окружности.

фрактальный размерность поверхность скейлинг

6. Фрактальная размерность

Б. Мандельброт (B.B. Mandelbrot) предложил следующее определение фрактала. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (Х-Б) которого строго больше его топологической размерности (Е. Федер, 1991). Нестрогое определение, не требующее разъяснения понятий множество, размерность Х-Б, топологическая размерность, формулируется так: фрактал? это структура, состоящая из частей, подобных целому. Или еще проще: фрактал - это структура с дробной размерностью.

Зависимость N(д) числа отрезков д (или числа ячеек, покрывающих линию) от размера отрезка (или размера ячеек) описывается следующим с точностью до множителя соотношением:

где D - фрактальная размерность.

Если построить зависимость lgN(д)-lg(д), то фрактальная размерность равна угловому коэффициенту (наклону) графика, т.е.

Размерность, определяемая путем подсчета числа клеток (ячеек), покрывающих линию в зависимости от размера клетки, называют клеточной размерностью.

Фрактальная размерность поверхности. Покроем исследуемый участок поверхности системой одинаковых треугольников и подсчитаем суммарную площадь покрытия, равную

где AД-площадь треугольника. Разделим полученную площадь на величину номинальной площади-проекции реальной поверхности на плоскость, определяемую геометрическим очертанием исследуемого участка.

Тогда, построив в двойных логарифмических координатах зависимость относительной площади покрытия от площади покрывающего элемента, можно найти в определенном диапазоне изменения площади элемента наклон или угловой коэффициент прямой, величина которого берется со знаком минус.

В результате расчета находят фрактальную размерность поверхности, равную

Фрактальная размерность поверхности изменяется в пределах 2

7. Подобие и скейлинг

Дадим определение геометрического подобия.

Две геометрические фигуры называются подобными, если: 1) угол между каждыми двумя линиями в одной из них равен углу между соответствующими линиями в другой и 2) каждый прямолинейный отрезок в одной из них находится в постоянном отношении с соответствующим ему отрезком в другой.

Так, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а длины сторон, заключающих эти углы, пропорциональны.

Кроме геометрического подобия, различают кинематическое и динамическое подобия для механических явлений, лежащие в основе процедур моделирования.

Прямая линия при параллельном переносе остается самой собой.

Можно утверждать, что прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба (скейлинга), т.е. она самоподобна.

Таким образом, скейлинг - это отражение масштабной инвариантности.

Для отрезка прямой единичной длины можно выбрать коэффициент подобия

где N - любое целое число (N >1).

Прямоугольный участок плоскости можно покрыть уменьшенными копиями, если их длины изменить в r(N)=(1/N)1/2 раз.

Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, выбрав масштабный множитель r(N)=(1/N)1/ В общем случае масштабный множитель следует выбрать равным

где d - размерность подобия, равная 1 - для прямой, 2 - для плоскости и 3 - для объемных фигур.

Для фрактальных геометрических структур размерность подобия Dp определяется выражением

8. Самоподобие и самоаффинность

В качестве примера возьмем движение броуновской частицы. Ее координаты на плоскости (х,y) и время (t) являются физическими величинами, имеющими разную размерность. Вот почему координаты и время будут иметь разные коэффициенты подобия. Аффинное преобразование переводит точку x=(x1,x2,…,xE) в новую точку x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), где не все коэффициенты подобия r1, …,rE одинаковы.

Для самоаффинного профиля можно записать

Здесь b-масштаб увеличения; Н-показатель степени (показатель Хёрста).

Показатель Хёрста изменяется в диапазоне 0

9. Показатель Хёрста

Показатель Хёрста позволяет определить фрактальную размерность последовательности измерений, в частности, он использовался в качестве инструмента для статистической оценки высот волн [Е. Федер]. Считается установленной связь между показателем Хёрста и фрактальными размерностями высот волн и поверхности, которая выражается следующими простыми соотношениями для профиля и поверхности: D=2-H; DS=3-H. Рассмотрим методику определения показателя Хёрста.

1. Находим N высот вершин выступов H={h1, h2,…,hN}T и определяем относительные значения этих высот х1,х2,…,хN, хi, где. Если высоты выступов подчиняются бетараспределению, то значения хi хi.

2. Находим выборочное (из N высот выступов) среднее

Определяем накопившееся отклонение

График изменения накопившегося отклонения для высот выступов, имеющих бета-распределение при N=50, представлен на рис. 11.

Рис. 11. Зависимость накопившегося отклонения X(n,N) от N

Из графика находим размах R.

4. Вычисляем стандартное отклонение? выборочное среднее квадратическое отклонение относительных высот выступов

5. Представим отношение R/S, зависящее от показателя Хёрста, в виде

где Нпоказатель Хёрста.

При репрезентативной выборке высот выступов показатель Н можно найти, используя приведенное эмпирическое выражение Хёрста. Представляет интерес найти зависимость R/S от числа рассматриваемых выступов N. Эта зависимость в логарифмических координатах будет представлять собой прямую линию, наклон которой определяется показателем Хёрста. Фрактальная размерность последовательности относительных значений высот выступов будет равна D=2-H.

Рассмотрим следующий пример. В качестве исходных данных были взяты ординаты профиля поверхности (с шагом 10 мкм). Длина трассы составила 800 мкм. Ординаты имели вертикальное увеличение, равное 50 000. На рис. 12 показаны профиль поверхности (кривая 1) и накопленное отклонение ординат от средней линии (кривая 2).

Рис. 12. Профиль поверхности (1) и накопленное отклонение (2) ординат от средней линии профиля

Размах зависит от рассматриваемой длины профилограммы (числа номеров ординат). Ясно, что размах растет с увеличением. Зависимость нормального размаха, определяемого выражением (R/S), от показана в логарифмических координатах для рассматриваемой стальной поверхности на рис. 1.

Рис. 13 Метод нормированного размаха для оценки фрактальной размерности профиля

Рассмотрим алгоритм определения показателя Хёрста с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Будем искать уравнение регрессии в виде

где y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(ф/2).

Вход: N (число точек), (оi, зi), i=1,2,…,N (координаты точек)

Выход: b=lg(a) (сдвиг), m=H (наклон)

Алгоритм:

Аппроксимирующей функцией зависимости, представленной на рис. 13, является степенная зависимость вида:

Таким образом, показатель Хёрста равен H=0,35, и фрактальная размерность профиля оценивается величиной D=2 H=2 0,35=1,65.

Статистическая самоаффинность обусловлена сходством внешнего вида профиля при разных масштабах. Иными словами, шероховатая поверхность всегда негладкая при рассмотрении с разным увеличением.

При 0,5

При 0

В качестве примера на рис. 14 показана последовательность временного ряда (или ординат профиля шероховатой поверхности) и зависимость нормированного размаха от времени (длины профиля).

Рис. 14. Последовательность ординат и зависимость нормированного размаха от длины

Обращает на себя внимание разное значение показателя Хёрста на трех участках R/S - анализа. При малом числе элементов показатель Хёрста близок к единице и не совсем отражает фрактальную структуру объекта.

Сейлс и Томас (R.S. Sayles, T.R. Thomas) измерили и проанализировали шероховатость поверхностей разнообразных объектов, в том числе и инженерных металлических поверхностей.

Высота поверхности z измерялась в различных точках х вдоль некоторого направления. Имея большое число измерений по всему участку поверхности, можно рассчитать шероховатость поверхности, определяемую дисперсией:

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по серии измерений (иногда многократных повторных) топографии поверхности. Точка отсчета по вертикали выбирается так, что

Важной мерой статистических свойств поверхности является корреляционная функция, определяемая соотношением:

Для стационарных поверхностей корреляционную функцию можно выразить через спектр мощности G() с помощью преобразования Фурье

Здесь щ - частота.

Для шероховатой поверхности нижний и верхний пределы интегрирования будут соответствовать щ min и щ max.

Оценка частот характеризуется первым и вторым кроссоверами (рис. 1.3).

Для самоаффинного или самоподобного профиля поверхности спектральная плотность имеет степенной вид

Здесь f - частота дискретизации; а и b - коэффициенты регрессии.

Коэффициент а носит название коэффициент изрезанности, а b - характеризует фрактальную размерность профиля.

10. Соотношение "периметр-площадь"

Сравним соотношение "периметр-площадь" для нефрактальных (табл. 1) и фрактальных геометрических объектов.

1. Нефрактальные объекты.

Таблица 1. Соотношение "периметр - площадь" в эвклидовой геометрии

2. Фрактальные объекты.

По аналогии с нефрактальными объектами запишем соотношение "периметр-площадь" в виде

Здесь P - периметр; A - площадь; R(д) - параметр, зависящий от масштаба измерения (размера квадратной ячейки); D - фрактальная размерность "береговой" линии (1 < D < 2).

Учитывая, что периметр определяется выражением

запишем соотношение (1) в виде

Здесь с - коэффициент.

Изменение периметра при разных масштабах измерения определяется по формуле

Соотношение (2) выражает условие самоподобия "островов" с фрактальными границами (при этом масштаб измерения д должен быть достаточно маленьким, чтобы точно измерять область наименьшего острова).

Прологарифмируем соотношение (2)

Преобразовав полученное выражение, запишем:

На рис. 15 показана зависимость "периметр - площадь", представленная в логарифмических координатах.

Угловой коэффициент прямой, представленной на рис. 15, равен 2/D.

Рис. 3.15. Зависимость "площадь - периметр"

Анализ выражения (3) показывает, что величиной

2lg(c1/Dд1-D)/D),

зависящей от масштаба измерения д, можно пренебречь, так как при достаточно большом масштабе измерения "остров" становится нефрактальным объектом. Действительно, при D=DE=1 и масштабе, при котором с=1, имеем:

Окончательно запишем

Из выражения (4) найдем фрактальную размерность "береговой" линии

График (рис. 15), построенный в двойных логарифмических координатах, отражает условие самоподобия и позволяет найти фрактальную размерность.

Процедура определения фрактальной размерности заключается в покрытии фрактального объекта? "острова" - квадратной сеткой с размером ячейки д.

В этом случае периметр и площадь фигуры можно определить по формулам

где - число заполненных "береговой" линией ячеек; - число ячеек, покрывающих площадь "острова".

Таким образом, после подсчета и, по формулам (5) и (4) вычисляется фрактальная размерность D.

Для определения фрактальной размерности поверхности используем подход, предложенный Б. Мандельбротом

11. Размерность фрактальных поверхностей

Соотношение периметр-площадь используют, чтобы характеризовать множество фрактальных объектов, используемых в широком диапазоне научных и технических проблем.

В частности, это соотношение эффективно используется в работах, в которых дается характеристика поверхностей излома стали и методика для определения конкретных поверхностей изломов.

Применительно к инженерным поверхностям подобное соотношение используется редко. В основном при определении фрактальной размерности поверхности применяют метод покрытия. На рис. 16 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.

Для определения фрактальной размерности поверхности рассмотрим контакт фрактальной поверхности с гладкой.

В качестве примера возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости. На рис. 17 представлено такое сечение фрактальной поверхности с DS = 2,6.

Рис. 16. Модели фрактальных поверхностей

Рис. 17. Сечение фрактальной поверхности

Считается, что все "острова" на рис. 17 самоподобны. Тогда для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный "остров" (рис. 18).

Рис. 18. Изображение "острова"

На рис. 19 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.

Рис. 19. К оценке фрактальной размерности: покрытие фрактального объекта сеткой с квадратными ячейками (Paul S. Addison)

На рис. 20 представлен график зависимости "площадь-периметр" в двойных логарифмических координатах, построенный на основании рис. 19.

При этом считаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам: площади и периметра

Зависимость числа клеток, покрывающих площадь "острова" NA, от числа клеток, в которых попала "береговая" линия острова NP , построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии

NA=-69,14+3,303NP.

Рис. 20. Зависимости "площадь-периметр"

Фрактальная размерность определяется выражением

При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, привлекательным моментом является замена двух фрактальных поверхностей на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной.

С этой целью используем ранее рассмотренную процедуру. Смоделируем контакт двух поверхностей и определим пятна касания при некотором сближении.

На рис. 21 показана картина контакта двух поверхностей с выделенным для исследования "островом".

Рис. 21. Контакт фрактальных поверхностей

Список литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт: [пер. с англ.]. - М.: Институт компьютерных исследований, 2012. - 656 с.

2. Федер Е. Фракталы / Е. Федер: [пер. с англ.]. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

3. Mandelbrot B.B. Fractal character of fracture surfaces of metals / B.B. Mandelbrot //Nature, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Studies on the fractal dimension and fracture toughness of steel / Z.Q. Mu, C.W. Lung // J. Phys. D: Appl. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Surface topography as a nonstationary random process / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Nature, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. Fractals and Chaos-An Illustrated Course / P.S. Addison. - Inst.of Physics Publishing. - Bristol, 2007.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Сущность понятия "фрактал". Сущность фрактальной размерности. Размерность Хаусдорфа и ее свойства. Канторово множество и его обобщение. Снежинка и кривая Коха. Кривая Пеано и Госпера, их особенности. Ковер и салфетка Серпинского. Дракон Хартера-Хейтуэя.

курсовая работа , добавлен 23.07.2011


Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.

реферат , добавлен 10.01.2009


Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.

дипломная работа , добавлен 18.05.2013


Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Краткий обзор развития геометрии. Призма. Площадь поверхности призмы. Призма и пирамида. Пирамида и площадь ее поверхности. Измерение объемов. О пирамиде и ее объеме. О призме и параллелепипеде. Симметрия в пространстве.

реферат , добавлен 08.05.2003


Способы формообразования и отображения поверхностей. Закон образования поверхности. Основные свойства, вытекающие из закона образования поверхности вращения. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Образование каркаса циклических поверхностей.

реферат , добавлен 19.05.2014


Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.

курсовая работа , добавлен 28.06.2009


Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

курсовая работа , добавлен 26.05.2006


Из всех прямоугольников с площадью 9 дм2 найдите тот, у которого периметр наименьший.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

задача , добавлен 11.01.2004


Подробный анализ поверхностей Каталана и условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА. Доказательство утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности.

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.

По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» . Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба (см. рис. 6). Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Рисунок 6. Самоподобие фракталов на примере множества Мандельброта

С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество дробной размерности .

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальная геометрия -- это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -- это не сферы, горы -- это не конусы, линии берега -- это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» .

Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

Фрактальная размерность

Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства, для поверхности - , для линии - , для точки), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе -- Пеано (1890 г.).

Рисунок 7. Построение линии Пеано

Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту -- точке, линии или плоскости - ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.

Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.

Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной, так что. По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной, то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае, где - размерность объекта (см. рис. 8).

Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками

Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:

Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.

Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности -- рис. 9.

Рисунок 9. Построение множества Кантора

Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,

Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно

Поэтому его фрактальная размерность

Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект, от изменения его линейных размеров :

Для линии. Для плоскости. Для объема.

Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Построение снежинки Кох

Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна, так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от Евклидовой (иначе говоря, топологическая размерность). Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов – извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика – Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей – размерность Хаусдорфа – Безиковича. Что такое размерность и для чего она нам понадобится применительно к анализу финансовых рынков? До этого нам был известен только один вид размерности – топологическая (рис.3.11). Само слово размерность показывает, сколько измерений имеет объект. Для прямой линии она равна 1, т.е. мы имеем только одно измерение, а именно длину прямой. Для плоскости размерность будет 2, так как мы имеем двухмерное измерение, длина и ширина. Для пространства или объемных объектов, размерность равна 3: длина, ширина и высота.

Давайте рассмотрим пример с компьютерными играми. Если игра сделана в 3D графике, то она пространственна и объемна, если в 2D графике – графика изображается на плоскости (рис.3.10).

Самое необычное (правильнее было бы сказать – непривычное) в размерности Хаусдорфа – Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа – Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Размерность характеризует усложнение множества (например, прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость (рис.3.12).

Увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа – Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность, переход с 1 сразу к 2. Размерность Хаусдорфа – Безиковича – и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным, принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,15 для слегка извилистой линии, 1,2 – для более извилистой, 1,5 – для очень извилистой и т.д. (рис.3.13).

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа – Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа – Безиковича, но и любая другая) – это размерность, способная принимать не обязательно целые, но и дробные значения.

Для линейных геометрических фракталов, размерность характеризует их самоподобность. Рассмотрим рис.3.17 (а), линия состоит из N=4 отрезков, каждый из которых имеет длину r =1/3. В итоге получаем соотношение:

D = logN/log(1/r)

Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим о мультифракталах (нелинейных объектах). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных линейных фракталов. В мультифракталах в роли показателя размерности выступает значение Н. Более подробно, мы рассмотрим это в главе «Определение цикла на валютном рынке».

Величина фрактальной размерности может служить индикатором, определяющим количество факторов, влияющих на систему. На валютном рынке размерностью можно охарактеризовать волатильность цены. Для каждой валютной пары характерно свое поведение. У пары GBP/USD поведение более импульсивное, нежели чем у EUR/USD. Самое интересное в том, что данные валюты двигаются одинаковой структурой к ценовым уровням, однако, размерность у них разная, что может сказаться на внутридневной торговле и на ускользающих от неопытного взгляда, изменениях в модели.

При фрактальной размерности менее 1.4, на систему влияет одна или несколько сил, двигающих систему в одном направлении. Если размерность около 1.5, то силы, действующие на систему, разнонаправлены, но более или менее компенсируют друг друга. Поведение системы в этом случае является стохастическим и хорошо описывается классическими статистическими методами. Если же фрактальная размерность значительно более 1.6, система становится неустойчивой и готова перейти в новое состояние. Отсюда можно сделать вывод, что чем более сложную структуру мы наблюдаем, тем все более возрастает вероятность мощного движения.

На рис.3.14 показана размерность применительно к математической модели, для того чтобы вы глубже прониклись в значение данного термина. Обратите внимание, что на всех трех рисунках изображен один цикл. На рис.3.14(а) размерность равна 1.2, на рис.3.14(б) размерность равна 1.5, а на рис.3. 14(в) 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве волатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени.

На рис.3.15 изображена пара EUR/USD в дневном масштабе цен. Обратите внимание, четко видно сформировавшийся цикл и начало нового, большего цикла. Перейдя на часовой масштаб и увеличив один из циклов, мы сможем заметить более мелкие циклы, и часть крупного, расположенного в масштабе D1 (рис.3.16). Детализация циклов, т.е. их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что: фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.

Понятие инвариантности было введено Мандельбротом от слова «scalant» – масштабируемый, т.е. когда объект обладает свойством инвариантности, он имеет различные уровни (масштабы) отображения.

На рисунке кругом «А» выделен мини цикл (детализированная волна), кругом «Б» – волна большего цикла. Благодаря размерности волн, мы всегда сможем определить размер цикла.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной (случайной) природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает множество путей развития, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды.

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминировано, т.е. полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. Пример классической модели можно представить в виде постоянно убывающей, либо возрастающей тенденции. И мы можем предсказать ее поведение, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие, учитывая начальные условия объекта. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Давайте теперь рассмотрим, как из прямой можно получить то, что мы называем фракталом, с присущими ему свойствами.

На рис.3.17(а) изображена кривая Коха. Возьмем отрезок линии, ее длина = 1, т.е. пока еще топологическая размерность. Теперь мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего треугольника. Это стадия два (b) конструкции изображена на рис.3.17(а). В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая по 1/3 длины, так что вся длина – 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это – стадия три (c) . Это даст нам 16 еще меньших долей линии, каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3)2. В итоге получили дробную размерность. Но не только это отличает образовавшуюся структуру от прямой. Она стала самоподобной и ни в одной ее точке невозможно провести касательную (рис.3.17 (б)).

Мандельброт предложил следующее пробное определение фрактала:

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности

Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича и топологическая размерность которая всегда равна целому числу. Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов и наглядные иллюстрации (с использованием простых примеров), а не более строгое, но формальное изложение тех же понятий. Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует . Дело в том, что первое определение при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, подчеркиваемый в нашей книге и наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Взять хотя бы некоторые прекрасные кучевые облака. Они состоят из огромных «горбов», на которых возвышаются «горбы» поменьше, на тех - «горбы» еще меньше и т.д. вплоть до самого малого масштаба, который вы в состоянии разрешить. На самом деле, располагая только внешним видом облаков и не используя никакой дополнительной информации, размер облаков оценить невозможно.

Фракталы, о которых пойдет речь в этой книге, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность и размерность Хаусдорфа - Безиковича Евклидова размерность пространства равна Так как для линии линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с имеет топологическую размерность Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера, имеет Эти примеры позволяют определить некоторые из рассматриваемых нами типов множеств.

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа - Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Как измерить «величину»

множества У точек в пространстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром 8, как показано на рис. 2.5. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром 8. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, мы получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число прямолинейных отрезков длины 8, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Разумеется, для обычной кривой Длина кривой определяется предельным переходом

В пределе при мера становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от 8.

Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно определить, указывая число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если -число этих квадратов, а -площадь каждого из них, то площадь кривой равна

Аналогично объем V кривой можно определить как величину

Рис. 2.5. Измерение «величины» кривой.

Разумеется, что для обычных кривых обращаются в нуль при , и единственной представляющий интерес мерой является длина кривой.

Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов, необходимых для ее покрытия, определяется в пределе при выражением где площадь поверхности.

Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов кубов, необходимых для покрытия поверхности:

При этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.

Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину? Формально мы можем принять за такую длину величину

которая расходится при Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков. Мы заключаем, что единственной содержательной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.

Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут

Рис. 2.6. Измерение «величины» поверхности.

быть закрученными так сильно, что длина их окажется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость. Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они заполняют пространство. Для того чтобы мы могли рассматривать и такие необычные множества точек, полезно обобщить введенные нами меры величины множества.

До сих пор, определяя меру величины множества точек У в пространстве, мы выбирали некоторую пробную функцию отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб - и покрывали множество, образуя меру Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент для кругов и для сфер Мы заключаем, что в общем случае при мера равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора -размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества есть критическая размерность, при которой мера изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

Мы называем -мерой множества. Значение при часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении величина изменяется скачком. Заметим, что в приведенном выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере, 8 пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность может также быть локальной характеристикой множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунктов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарамтк не обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры воех шаров меньше 8. В этом случае -мера есть нижняя грань, т. е., грубо говоря, минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях. Примеры см. в разд. 5.2. Строгое математическое изложение вопроса интересующиеся найдут в книге Фальконера .